Integral de (6x+1)e^(-2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{3 u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 u e^{u}}{2}\, du = \frac{3 \int u e^{u}\, du}{2}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u e^{u}}{2} - \frac{3 e^{u}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         El resultado es: $\frac{3 u e^{u}}{2} - 2 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 x e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 2 x} \left(6 x + 1\right) = 6 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x e^{- 2 x}\, dx = 6 \int x e^{- 2 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 2 x}\, dx}{2}$

            1. que $u = - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x e^{- 2 x} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2}$

      1. que $u = - 2 x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      El resultado es: $- 3 x e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(3 x + 2\right) e^{- 2 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(3 x + 2\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(3 x + 2\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$