Integral de 2/(1-x)^3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2}{\left(1 - x\right)^{3}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\left(1 - x\right)^{3}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(1 - x\right)^{3}} = - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(1 - x\right)^{3}} = - \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

         2. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(1 - x\right)^{3}} = \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1} = - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$