Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Integral de d{x}:
  • Integral de x/(2x+1)
  • Integral de ∫cosxdx
  • Integral de (6+x)/(1+x)
  • Integral de (5-x^2)^1/2
  • Expresiones idénticas

  • (uno / dos sin dos x)^2*((uno -cos2x)/2)
  • (1 dividir por 2 seno de 2x) al cuadrado multiplicar por ((1 menos coseno de 2x) dividir por 2)
  • (uno dividir por dos seno de dos x) al cuadrado multiplicar por ((uno menos coseno de 2x) dividir por 2)
  • (1/2sin2x)2*((1-cos2x)/2)
  • 1/2sin2x2*1-cos2x/2
  • (1/2sin2x)²*((1-cos2x)/2)
  • (1/2sin2x) en el grado 2*((1-cos2x)/2)
  • (1/2sin2x)^2((1-cos2x)/2)
  • (1/2sin2x)2((1-cos2x)/2)
  • 1/2sin2x21-cos2x/2
  • 1/2sin2x^21-cos2x/2
  • (1 dividir por 2sin2x)^2*((1-cos2x) dividir por 2)
  • (1/2sin2x)^2*((1-cos2x)/2)dx
  • Expresiones semejantes

  • (1/2sin2x)^2*((1+cos2x)/2)

Integral de (1/2sin2x)^2*((1-cos2x)/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                            
  /                            
 |                             
 |            2                
 |  /sin(2*x)\  1 - cos(2*x)   
 |  |--------| *------------ dx
 |  \   2    /       2         
 |                             
/                              
0                              
01(sin(2x)2)21cos(2x)2dx\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx
Integral((sin(2*x)/2)^2*((1 - cos(2*x))/2), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      (sin2(u)cos(u)16+sin2(u)16)du\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{\sin^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (sin2(u)cos(u)16)du=sin2(u)cos(u)du16\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

          1. que u=sin(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            u2du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin3(u)3\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: sin3(u)48- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          sin2(u)16du=sin2(u)du16\int \frac{\sin^{2}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \sin^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin2(u)=12cos(2u)2\sin^{2}{\left(u \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              (cos(2u)2)du=cos(2u)du2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(2u)4- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            El resultado es: u2sin(2u)4\frac{u}{2} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: u32sin(2u)64\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}

        El resultado es: u32sin(2u)64sin3(u)48\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x16sin3(2x)48sin(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin(2x)2)21cos(2x)2=sin2(2x)cos(2x)8+sin2(2x)8\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2} = - \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (sin2(2x)cos(2x)8)dx=sin2(2x)cos(2x)dx8\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          u22du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            u2du=u2du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: sin3(2x)48- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        sin2(2x)8dx=sin2(2x)dx8\int \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin2(2x)=12cos(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (cos(4x)2)dx=cos(4x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          El resultado es: x2sin(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: x16sin(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

      El resultado es: x16sin3(2x)48sin(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin(2x)2)21cos(2x)2=sin2(2x)cos(2x)8+sin2(2x)8\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2} = - \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (sin2(2x)cos(2x)8)dx=sin2(2x)cos(2x)dx8\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          u22du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            u2du=u2du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: sin3(2x)48- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        sin2(2x)8dx=sin2(2x)dx8\int \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin2(2x)=12cos(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (cos(4x)2)dx=cos(4x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          El resultado es: x2sin(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: x16sin(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

      El resultado es: x16sin3(2x)48sin(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x16sin3(2x)48sin(4x)64+constant\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x16sin3(2x)48sin(4x)64+constant\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                           
 |                                                            
 |           2                          3                     
 | /sin(2*x)\  1 - cos(2*x)          sin (2*x)   sin(4*x)   x 
 | |--------| *------------ dx = C - --------- - -------- + --
 | \   2    /       2                    48         64      16
 |                                                            
/                                                             
(sin(2x)2)21cos(2x)2dx=C+x16sin3(2x)48sin(4x)64\int \left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = C + \frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.2
Respuesta [src]
     3         2         2                   
  sin (2)   cos (2)   sin (2)   cos(2)*sin(2)
- ------- + ------- + ------- - -------------
     48        16        16           32     
sin3(2)48+cos2(2)16sin(2)cos(2)32+sin2(2)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 \right)}}{48} + \frac{\cos^{2}{\left(2 \right)}}{16} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{32} + \frac{\sin^{2}{\left(2 \right)}}{16}
=
=
     3         2         2                   
  sin (2)   cos (2)   sin (2)   cos(2)*sin(2)
- ------- + ------- + ------- - -------------
     48        16        16           32     
sin3(2)48+cos2(2)16sin(2)cos(2)32+sin2(2)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 \right)}}{48} + \frac{\cos^{2}{\left(2 \right)}}{16} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{32} + \frac{\sin^{2}{\left(2 \right)}}{16}
-sin(2)^3/48 + cos(2)^2/16 + sin(2)^2/16 - cos(2)*sin(2)/32
Respuesta numérica [src]
0.0586619776419157
0.0586619776419157

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.