Integral de (1/2sin2x)^2*((1-cos2x)/2) dx
Solución
Solución detallada
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos du:
∫(−16sin2(u)cos(u)+16sin2(u))du
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−16sin2(u)cos(u))du=−16∫sin2(u)cos(u)du
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que u=sin(u).
Luego que du=cos(u)du y ponemos du:
∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Si ahora sustituir u más en:
3sin3(u)
Por lo tanto, el resultado es: −48sin3(u)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫16sin2(u)du=16∫sin2(u)du
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Vuelva a escribir el integrando:
sin2(u)=21−2cos(2u)
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Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2cos(2u))du=−2∫cos(2u)du
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que u=2u.
Luego que du=2du y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2u)
Por lo tanto, el resultado es: −4sin(2u)
El resultado es: 2u−4sin(2u)
Por lo tanto, el resultado es: 32u−64sin(2u)
El resultado es: 32u−64sin(2u)−48sin3(u)
Si ahora sustituir u más en:
16x−48sin3(2x)−64sin(4x)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
(2sin(2x))221−cos(2x)=−8sin2(2x)cos(2x)+8sin2(2x)
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−8sin2(2x)cos(2x))dx=−8∫sin2(2x)cos(2x)dx
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que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos 2du:
∫2u2du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2du=2∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: 6u3
Si ahora sustituir u más en:
6sin3(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −48sin3(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫8sin2(2x)dx=8∫sin2(2x)dx
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Vuelva a escribir el integrando:
sin2(2x)=21−2cos(4x)
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Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2cos(4x))dx=−2∫cos(4x)dx
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que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: −8sin(4x)
El resultado es: 2x−8sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 16x−64sin(4x)
El resultado es: 16x−48sin3(2x)−64sin(4x)
Método #3
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Vuelva a escribir el integrando:
(2sin(2x))221−cos(2x)=−8sin2(2x)cos(2x)+8sin2(2x)
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−8sin2(2x)cos(2x))dx=−8∫sin2(2x)cos(2x)dx
-
que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos 2du:
∫2u2du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2du=2∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: 6u3
Si ahora sustituir u más en:
6sin3(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −48sin3(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫8sin2(2x)dx=8∫sin2(2x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
sin2(2x)=21−2cos(4x)
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Integramos término a término:
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2cos(4x))dx=−2∫cos(4x)dx
-
que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: −8sin(4x)
El resultado es: 2x−8sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 16x−64sin(4x)
El resultado es: 16x−48sin3(2x)−64sin(4x)
-
Añadimos la constante de integración:
16x−48sin3(2x)−64sin(4x)+constant
Respuesta:
16x−48sin3(2x)−64sin(4x)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
|
| 2 3
| /sin(2*x)\ 1 - cos(2*x) sin (2*x) sin(4*x) x
| |--------| *------------ dx = C - --------- - -------- + --
| \ 2 / 2 48 64 16
|
/
∫(2sin(2x))221−cos(2x)dx=C+16x−48sin3(2x)−64sin(4x)
Gráfica
3 2 2
sin (2) cos (2) sin (2) cos(2)*sin(2)
- ------- + ------- + ------- - -------------
48 16 16 32
−48sin3(2)+16cos2(2)−32sin(2)cos(2)+16sin2(2)
=
3 2 2
sin (2) cos (2) sin (2) cos(2)*sin(2)
- ------- + ------- + ------- - -------------
48 16 16 32
−48sin3(2)+16cos2(2)−32sin(2)cos(2)+16sin2(2)
-sin(2)^3/48 + cos(2)^2/16 + sin(2)^2/16 - cos(2)*sin(2)/32
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.