Integral de (6+x)/(1+x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + 6$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{u - 5}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{u - 5} = 1 + \frac{5}{u - 5}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5}{u - 5}\, du = 5 \int \frac{1}{u - 5}\, du$

            1. que $u = u - 5$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 5 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(u - 5 \right)}$

         El resultado es: $u + 5 \log{\left(u - 5 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x + 5 \log{\left(x + 1 \right)} + 6$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 6}{x + 1} = 1 + \frac{5}{x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x + 1}\, dx = 5 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(x + 1 \right)}$

      El resultado es: $x + 5 \log{\left(x + 1 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 6}{x + 1} = \frac{x}{x + 1} + \frac{6}{x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

         El resultado es: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6}{x + 1}\, dx = 6 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(x + 1 \right)}$

      El resultado es: $x + 5 \log{\left(x + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + 5 \log{\left(x + 1 \right)} + 6+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + 5 \log{\left(x + 1 \right)} + 6+ \mathrm{constant}$