Sr Examen

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Integral de (6+x)/(1+x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1          
  /          
 |           
 |  6 + x    
 |  ------ dx
 |       2   
 |  1 + x    
 |           
/            
0            
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 6}{x^{2} + 1}\, dx$$
Integral((6 + x)/(1 + x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /         
 |          
 | 6 + x    
 | ------ dx
 |      2   
 | 1 + x    
 |          
/           
Reescribimos la función subintegral
         /    2*x     \            
         |------------|      /6\   
         | 2          |      |-|   
6 + x    \x  + 0*x + 1/      \1/   
------ = -------------- + ---------
     2         2              2    
1 + x                     (-x)  + 1
o
  /           
 |            
 | 6 + x      
 | ------ dx  
 |      2    =
 | 1 + x      
 |            
/             
  
  /                                   
 |                                    
 |     2*x                            
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  + 0*x + 1          /            
 |                      |             
/                       |     1       
------------------ + 6* | --------- dx
        2               |     2       
                        | (-x)  + 1   
                        |             
                       /              
En integral
  /               
 |                
 |     2*x        
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 0*x + 1   
 |                
/                 
------------------
        2         
hacemos el cambio
     2
u = x 
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 1 + u                
 |                      
/             log(1 + u)
----------- = ----------
     2            2     
hacemos cambio inverso
  /                             
 |                              
 |     2*x                      
 | ------------ dx              
 |  2                           
 | x  + 0*x + 1                 
 |                      /     2\
/                    log\1 + x /
------------------ = -----------
        2                 2     
En integral
    /            
   |             
   |     1       
6* | --------- dx
   |     2       
   | (-x)  + 1   
   |             
  /              
hacemos el cambio
v = -x
entonces
integral =
    /                     
   |                      
   |   1                  
6* | ------ dv = 6*atan(v)
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /                       
hacemos cambio inverso
    /                        
   |                         
   |     1                   
6* | --------- dx = 6*atan(x)
   |     2                   
   | (-x)  + 1               
   |                         
  /                          
La solución:
       /     2\            
    log\1 + x /            
C + ----------- + 6*atan(x)
         2                 
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                       
 |                    /     2\            
 | 6 + x           log\1 + x /            
 | ------ dx = C + ----------- + 6*atan(x)
 |      2               2                 
 | 1 + x                                  
 |                                        
/                                         
$$\int \frac{x + 6}{x^{2} + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} + 6 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
log(2)   3*pi
------ + ----
  2       2  
$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{2}$$
=
=
log(2)   3*pi
------ + ----
  2       2  
$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{2}$$
log(2)/2 + 3*pi/2
Respuesta numérica [src]
5.05896257066466
5.05896257066466

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.