Integral de (a^(2/3)-x^(2/3))^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{9 a^{\frac{4}{3}} u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{9 a^{\frac{2}{3}} u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{3 a^{2} \sqrt{u}}{2} - \frac{3 u^{\frac{7}{2}}}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3 u^{\frac{7}{2}}}{2}\right)\, du = - \frac{3 \int u^{\frac{7}{2}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{7}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{9}{2}}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{9 u^{\frac{5}{2}} a^{\frac{2}{3}}}{2}\, du = \frac{9 a^{\frac{2}{3}} \int u^{\frac{5}{2}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{5}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 u^{\frac{7}{2}} a^{\frac{2}{3}}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{9 u^{\frac{3}{2}} a^{\frac{4}{3}}}{2}\right)\, du = - \frac{9 a^{\frac{4}{3}} \int u^{\frac{3}{2}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 u^{\frac{5}{2}} a^{\frac{4}{3}}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 \sqrt{u} a^{2}}{2}\, du = \frac{3 a^{2} \int \sqrt{u}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{\frac{3}{2}} a^{2}$

         El resultado es: $- \frac{u^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{9 u^{\frac{7}{2}} a^{\frac{2}{3}}}{7} - \frac{9 u^{\frac{5}{2}} a^{\frac{4}{3}}}{5} + u^{\frac{3}{2}} a^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{9 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}}}{7} + a^{2} x - \frac{x^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}\right)^{3} = - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} + a^{2} - x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}\right)\, dx = - 3 a^{\frac{4}{3}} \int x^{\frac{2}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{2}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}\, dx = 3 a^{\frac{2}{3}} \int x^{\frac{4}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{4}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int a^{2}\, dx = a^{2} x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{9 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}}}{7} + a^{2} x - \frac{x^{3}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{9 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}}}{7} + a^{2} x - \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{9 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}}}{7} + a^{2} x - \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$