Integral de x/e^(3x+9) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{e^{3 x + 9}} = \frac{x e^{- 3 x}}{e^{9}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x e^{- 3 x}}{e^{9}}\, dx = \frac{\int x e^{- 3 x}\, dx}{e^{9}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 3 x$.

            Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 3 x}\, dx}{3}$

         1. que $u = - 3 x$.

            Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 3 x}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}}{e^{9}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{e^{3 x + 9}} = \frac{x e^{- 3 x}}{e^{9}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x e^{- 3 x}}{e^{9}}\, dx = \frac{\int x e^{- 3 x}\, dx}{e^{9}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 3 x$.

            Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 3 x}\, dx}{3}$

         1. que $u = - 3 x$.

            Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 3 x}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}}{e^{9}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(3 x + 1\right) e^{- 3 x - 9}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(3 x + 1\right) e^{- 3 x - 9}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(3 x + 1\right) e^{- 3 x - 9}}{9}+ \mathrm{constant}$