Integral de x(x-5)^12 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(x - 5\right)^{12} = x^{13} - 60 x^{12} + 1650 x^{11} - 27500 x^{10} + 309375 x^{9} - 2475000 x^{8} + 14437500 x^{7} - 61875000 x^{6} + 193359375 x^{5} - 429687500 x^{4} + 644531250 x^{3} - 585937500 x^{2} + 244140625 x$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 60 x^{12}\right)\, dx = - 60 \int x^{12}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{60 x^{13}}{13}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1650 x^{11}\, dx = 1650 \int x^{11}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{275 x^{12}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 27500 x^{10}\right)\, dx = - 27500 \int x^{10}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2500 x^{11}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 309375 x^{9}\, dx = 309375 \int x^{9}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{61875 x^{10}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2475000 x^{8}\right)\, dx = - 2475000 \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 275000 x^{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 14437500 x^{7}\, dx = 14437500 \int x^{7}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3609375 x^{8}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 61875000 x^{6}\right)\, dx = - 61875000 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{61875000 x^{7}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 193359375 x^{5}\, dx = 193359375 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{64453125 x^{6}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 429687500 x^{4}\right)\, dx = - 429687500 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 85937500 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 644531250 x^{3}\, dx = 644531250 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{322265625 x^{4}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 585937500 x^{2}\right)\, dx = - 585937500 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 195312500 x^{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 244140625 x\, dx = 244140625 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{244140625 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{14}}{14} - \frac{60 x^{13}}{13} + \frac{275 x^{12}}{2} - 2500 x^{11} + \frac{61875 x^{10}}{2} - 275000 x^{9} + \frac{3609375 x^{8}}{2} - \frac{61875000 x^{7}}{7} + \frac{64453125 x^{6}}{2} - 85937500 x^{5} + \frac{322265625 x^{4}}{2} - 195312500 x^{3} + \frac{244140625 x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(13 x^{12} - 840 x^{11} + 25025 x^{10} - 455000 x^{9} + 5630625 x^{8} - 50050000 x^{7} + 328453125 x^{6} - 1608750000 x^{5} + 5865234375 x^{4} - 15640625000 x^{3} + 29326171875 x^{2} - 35546875000 x + 22216796875\right)}{182}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(13 x^{12} - 840 x^{11} + 25025 x^{10} - 455000 x^{9} + 5630625 x^{8} - 50050000 x^{7} + 328453125 x^{6} - 1608750000 x^{5} + 5865234375 x^{4} - 15640625000 x^{3} + 29326171875 x^{2} - 35546875000 x + 22216796875\right)}{182}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(13 x^{12} - 840 x^{11} + 25025 x^{10} - 455000 x^{9} + 5630625 x^{8} - 50050000 x^{7} + 328453125 x^{6} - 1608750000 x^{5} + 5865234375 x^{4} - 15640625000 x^{3} + 29326171875 x^{2} - 35546875000 x + 22216796875\right)}{182}+ \mathrm{constant}$