Integral de (1)/(1+x^(1/3)) dx

1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

   $\int \frac{3 u^{2}}{u + 1}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du = 3 \int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{2}}{u + 1} = u - 1 + \frac{1}{u + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, du = - u$

         1. que $u = u + 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u + 1 \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - u + \log{\left(u + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{2} - 3 u + 3 \log{\left(u + 1 \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} - 3 \sqrt[3]{x} + 3 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} - 3 \sqrt[3]{x} + 3 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} - 3 \sqrt[3]{x} + 3 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$