Integral de 2x+12/(x+2)(x-6) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x - 6\right) \frac{12}{x + 2} = 12 - \frac{96}{x + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 12\, dx = 12 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{96}{x + 2}\right)\, dx = - 96 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 96 \log{\left(x + 2 \right)}$

         El resultado es: $12 x - 96 \log{\left(x + 2 \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x - 6\right) \frac{12}{x + 2} = \frac{12 x - 72}{x + 2}$

      2. que $u = 12 x$.

         Luego que $du = 12 dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u - 72}{u + 24}\, du$

         1. que $u = u + 24$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u - 96}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u - 96}{u} = 1 - \frac{96}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{96}{u}\right)\, du = - 96 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 96 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u - 96 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u - 96 \log{\left(u + 24 \right)} + 24$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $12 x - 96 \log{\left(12 x + 24 \right)} + 24$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x - 6\right) \frac{12}{x + 2} = \frac{12 x}{x + 2} - \frac{72}{x + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{12 x}{x + 2}\, dx = 12 \int \frac{x}{x + 2}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. que $u = x + 2$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

               El resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $12 x - 24 \log{\left(x + 2 \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{72}{x + 2}\right)\, dx = - 72 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 72 \log{\left(x + 2 \right)}$

         El resultado es: $12 x - 24 \log{\left(x + 2 \right)} - 72 \log{\left(x + 2 \right)}$

   El resultado es: $x^{2} + 12 x - 96 \log{\left(x + 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} + 12 x - 96 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} + 12 x - 96 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$