Integral de (x-1)/(√x^2+3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{3} - 2 u}{u^{2} + 3}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{3} - 2 u}{u^{2} + 3} = 2 u - \frac{8 u}{u^{2} + 3}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{8 u}{u^{2} + 3}\right)\, du = - 8 \int \frac{u}{u^{2} + 3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{u^{2} + 3}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 3}\, du}{2}$

               1. que $u = u^{2} + 3$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u^{2} + 3 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 3 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(u^{2} + 3 \right)}$

         El resultado es: $u^{2} - 4 \log{\left(u^{2} + 3 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x - 4 \log{\left(x + 3 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x - 1}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 3} = \frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x + 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x + 3} = 1 - \frac{3}{x + 3}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3}{x + 3}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

            1. que $u = x + 3$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 3 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(x + 3 \right)}$

         El resultado es: $x - 3 \log{\left(x + 3 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x + 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. que $u = x + 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 3 \right)}$

      El resultado es: $x - 4 \log{\left(x + 3 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - 4 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - 4 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$