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Resolución de integrales/ 3*x+4/ (3*x+4)/(x^2+6*x+13)

Integral de (3*x+4)/(x^2+6*x+13) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |     3*x + 4      
 |  ------------- dx
 |   2              
 |  x  + 6*x + 13   
 |                  
/                   
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 4}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 13}\, dx$$ 
Integral((3*x + 4)/(x^2 + 6*x + 13), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /                
 |                 
 |    3*x + 4      
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 6*x + 13   
 |                 
/
Reescribimos la función subintegral
                     2*x + 6                    
                3*-------------       /-5 \     
                   2                  |---|     
   3*x + 4        x  + 6*x + 13       \ 4 /     
------------- = --------------- + --------------
 2                     2                   2    
x  + 6*x + 13                     /  x   3\     
                                  |- - - -|  + 1
                                  \  2   2/
o
  /                  
 |                   
 |    3*x + 4        
 | ------------- dx  
 |  2               =
 | x  + 6*x + 13     
 |                   
/                    
  
      /                                         
     |                                          
     |       1                 /                
  5* | -------------- dx      |                 
     |          2             |    2*x + 6      
     | /  x   3\           3* | ------------- dx
     | |- - - -|  + 1         |  2              
     | \  2   2/              | x  + 6*x + 13   
     |                        |                 
    /                        /                  
- ---------------------- + ---------------------
            4                        2
En integral
    /                
   |                 
   |    2*x + 6      
3* | ------------- dx
   |  2              
   | x  + 6*x + 13   
   |                 
  /                  
---------------------
          2
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 6*x
entonces
integral =
    /                         
   |                          
   |   1                      
3* | ------ du                
   | 13 + u                   
   |                          
  /              3*log(13 + u)
-------------- = -------------
      2                2
hacemos cambio inverso
    /                                       
   |                                        
   |    2*x + 6                             
3* | ------------- dx                       
   |  2                                     
   | x  + 6*x + 13                          
   |                         /      2      \
  /                     3*log\13 + x  + 6*x/
--------------------- = --------------------
          2                      2
En integral
     /                 
    |                  
    |       1          
-5* | -------------- dx
    |          2       
    | /  x   3\        
    | |- - - -|  + 1   
    | \  2   2/        
    |                  
   /                   
-----------------------
           4
hacemos el cambio
      3   x
v = - - - -
      2   2
entonces
integral =
     /                      
    |                       
    |   1                   
-5* | ------ dv             
    |      2                
    | 1 + v                 
    |                       
   /              -5*atan(v)
--------------- = ----------
       4              4
hacemos cambio inverso
     /                                  
    |                                   
    |       1                           
-5* | -------------- dx                 
    |          2                        
    | /  x   3\                         
    | |- - - -|  + 1                    
    | \  2   2/                  /3   x\
    |                     -5*atan|- + -|
   /                             \2   2/
----------------------- = --------------
           4                    2
La solución:
          /3   x\                       
    5*atan|- + -|        /      2      \
          \2   2/   3*log\13 + x  + 6*x/
C - ------------- + --------------------
          2                  2
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             /3   x\                       
 |                        5*atan|- + -|        /      2      \
 |    3*x + 4                   \2   2/   3*log\13 + x  + 6*x/
 | ------------- dx = C - ------------- + --------------------
 |  2                           2                  2          
 | x  + 6*x + 13                                              
 |                                                            
/
$$\int \frac{3 x + 4}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 13}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} + 6 x + 13 \right)}}{2} - \frac{5 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{3}{2} \right)}}{2}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  5*atan(2)   3*log(13)   3*log(20)   5*atan(3/2)
- --------- - --------- + --------- + -----------
      2           2           2            2
$$- \frac{3 \log{\left(13 \right)}}{2} - \frac{5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} + \frac{5 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(20 \right)}}{2}$$ 
=
= 
  5*atan(2)   3*log(13)   3*log(20)   5*atan(3/2)
- --------- - --------- + --------- + -----------
      2           2           2            2
$$- \frac{3 \log{\left(13 \right)}}{2} - \frac{5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} + \frac{5 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(20 \right)}}{2}$$ 
-5*atan(2)/2 - 3*log(13)/2 + 3*log(20)/2 + 5*atan(3/2)/2
Respuesta numérica [src] 
0.335286887771778
0.335286887771778

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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