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Resolución de integrales/ cotx^3

Integral de cotx^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  cot (x) dx
 |            
/             
0
∫01cot⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{1} \cot^{3}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cot(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cot⁡3(x)=(csc⁡2(x)−1)cot⁡(x)\cot^{3}{\left(x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=csc⁡2(x)u = \csc^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=−2cot⁡(x)csc⁡2(x)dxdu = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−u−12u) du\int \left(- \frac{u - 1}{2 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u−1u du=−∫u−1u du2\int \frac{u - 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −u2+log⁡(u)2- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(csc⁡2(x))2−csc⁡2(x)2\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(x)−1)cot⁡(x)=cot⁡(x)csc⁡2(x)−cot⁡(x)\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

        Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡2(x)2- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cot⁡(x)) dx=−∫cot⁡(x) dx\int \left(- \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(sin⁡(x))- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: −log⁡(sin⁡(x))−csc⁡2(x)2- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(x)−1)cot⁡(x)=cot⁡(x)csc⁡2(x)−cot⁡(x)\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

        Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡2(x)2- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cot⁡(x)) dx=−∫cot⁡(x) dx\int \left(- \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(sin⁡(x))- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: −log⁡(sin⁡(x))−csc⁡2(x)2- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(csc⁡2(x))2−csc⁡2(x)2+constant\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(csc⁡2(x))2−csc⁡2(x)2+constant\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       
 |                     /   2   \      2   
 |    3             log\csc (x)/   csc (x)
 | cot (x) dx = C + ------------ - -------
 |                       2            2   
/
∫cot⁡3(x) dx=C+log⁡(csc⁡2(x))2−csc⁡2(x)2\int \cot^{3}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
9.15365037903492e+37
9.15365037903492e+37

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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