Integral de xlog(1+x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{2 x dx}{x^{2} + 1}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u e^{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{2 u + 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$