Integral de x^4/(sqrt1-x^5)^1/3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{- x^{5} + \sqrt{1}}$.

      Luego que $du = - \frac{5 x^{4} dx}{3 \left(- x^{5} + \sqrt{1}\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{3 u}{5}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \frac{3 \int u\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 \left(- x^{5} + \sqrt{1}\right)^{\frac{2}{3}}}{10}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{- x^{5} + \sqrt{1}}} = \frac{x^{4}}{\sqrt[3]{1 - x^{5}}}$

   2. que $u = 1 - x^{5}$.

      Luego que $du = - 5 x^{4} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{1}{5 \sqrt[3]{u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 \left(1 - x^{5}\right)^{\frac{2}{3}}}{10}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{- x^{5} + \sqrt{1}}} = \frac{x^{4}}{\sqrt[3]{1 - x^{5}}}$

   2. que $u = 1 - x^{5}$.

      Luego que $du = - 5 x^{4} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{1}{5 \sqrt[3]{u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 \left(1 - x^{5}\right)^{\frac{2}{3}}}{10}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{3 \left(1 - x^{5}\right)^{\frac{2}{3}}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 \left(1 - x^{5}\right)^{\frac{2}{3}}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \left(1 - x^{5}\right)^{\frac{2}{3}}}{10}+ \mathrm{constant}$