Integral de 1/2*x*(2*x/3+2)^2 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x}{2} \left(\frac{2 x}{3} + 2\right)^{2} = \frac{2 x^{3}}{9} + \frac{4 x^{2}}{3} + 2 x$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x^{3}}{9}\, dx = \frac{2 \int x^{3}\, dx}{9}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{18}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4 x^{2}}{3}\, dx = \frac{4 \int x^{2}\, dx}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{3}}{9} + x^{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} + 8 x + 18\right)}{18}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} + 8 x + 18\right)}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(x^{2} + 8 x + 18\right)}{18}+ \mathrm{constant}$