Integral de 4dx/(1-3x)^5 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{4}{\left(1 - 3 x\right)^{5}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\left(1 - 3 x\right)^{5}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(1 - 3 x\right)^{5}} = - \frac{1}{\left(3 x - 1\right)^{5}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(3 x - 1\right)^{5}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(3 x - 1\right)^{5}}\, dx$

         1. que $u = 3 x - 1$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u^{5}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{5}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{4}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{12 \left(3 x - 1\right)^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{12 \left(3 x - 1\right)^{4}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(1 - 3 x\right)^{5}} = - \frac{1}{243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x - 1}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x - 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x - 1} = \frac{1}{\left(3 x - 1\right)^{5}}$

         2. que $u = 3 x - 1$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u^{5}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{5}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{4}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{12 \left(3 x - 1\right)^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{12 \left(3 x - 1\right)^{4}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(1 - 3 x\right)^{5}} = \frac{1}{- 243 x^{5} + 405 x^{4} - 270 x^{3} + 90 x^{2} - 15 x + 1}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{- 243 x^{5} + 405 x^{4} - 270 x^{3} + 90 x^{2} - 15 x + 1} = - \frac{1}{\left(3 x - 1\right)^{5}}$

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(3 x - 1\right)^{5}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(3 x - 1\right)^{5}}\, dx$

         1. que $u = 3 x - 1$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u^{5}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{5}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{4}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{12 \left(3 x - 1\right)^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{12 \left(3 x - 1\right)^{4}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{3 \left(3 x - 1\right)^{4}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1}{3 \left(3 x - 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1}{3 \left(3 x - 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$