Integral de (x^3+5)/(x-2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 5}{x - 2} = x^{2} + 2 x + 4 + \frac{13}{x - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{13}{x - 2}\, dx = 13 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $13 \log{\left(x - 2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + 13 \log{\left(x - 2 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 5}{x - 2} = \frac{x^{3}}{x - 2} + \frac{5}{x - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3}}{x - 2} = x^{2} + 2 x + 4 + \frac{8}{x - 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, dx = 4 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{8}{x - 2}\, dx = 8 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

            1. que $u = x - 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(x - 2 \right)}$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + 8 \log{\left(x - 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x - 2}\, dx = 5 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(x - 2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + 5 \log{\left(x - 2 \right)} + 8 \log{\left(x - 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + 13 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + 13 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$