Integral de ((2+x)^4/4)+a dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int a\, dx = a x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(x + 2\right)^{4}}{4}\, dx = \frac{\int \left(x + 2\right)^{4}\, dx}{4}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x + 2\right)^{5}}{5}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + 2\right)^{4} = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 24 x^{2}\, dx = 24 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $8 x^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 32 x\, dx = 32 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $16 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 16\, dx = 16 x$

            El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} + 2 x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(x + 2\right)^{5}}{20}$

   El resultado es: $a x + \frac{\left(x + 2\right)^{5}}{20}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $a x + \frac{\left(x + 2\right)^{5}}{20}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$a x + \frac{\left(x + 2\right)^{5}}{20}+ \mathrm{constant}$