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Resolución de integrales/ x^2-2/ -2x+5/ x/(x^2-2x+5)

Integral de x/(x^2-2x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  - 2*x + 5   
 |                 
/                  
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx$$ 
Integral(x/(x^2 - 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      x         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 2*x + 5   
 |                
/
Reescribimos la función subintegral
               /  2*x - 2   \                     
               |------------|                     
               | 2          |                     
     x         \x  - 2*x + 5/           1         
------------ = -------------- + ------------------
 2                   2            /         2    \
x  - 2*x + 5                      |/  x   1\     |
                                4*||- - + -|  + 1|
                                  \\  2   2/     /
o
  /                 
 |                  
 |      x           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  - 2*x + 5     
 |                  
/                   
  
                       /                 
                      |                  
  /                   |       1          
 |                    | -------------- dx
 |   2*x - 2          |          2       
 | ------------ dx    | /  x   1\        
 |  2                 | |- - + -|  + 1   
 | x  - 2*x + 5       | \  2   2/        
 |                    |                  
/                    /                   
------------------ + --------------------
        2                     4
En integral
  /               
 |                
 |   2*x - 2      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 2*x + 5   
 |                
/                 
------------------
        2
hacemos el cambio
     2      
u = x  - 2*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 5 + u                
 |                      
/             log(5 + u)
----------- = ----------
     2            2
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x - 2                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  - 2*x + 5                       
 |                      /     2      \
/                    log\5 + x  - 2*x/
------------------ = -----------------
        2                    2
En integral
  /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dx
 |          2       
 | /  x   1\        
 | |- - + -|  + 1   
 | \  2   2/        
 |                  
/                   
--------------------
         4
hacemos el cambio
    1   x
v = - - -
    2   2
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     4            4
hacemos cambio inverso
  /                                 
 |                                  
 |       1                          
 | -------------- dx                
 |          2                       
 | /  x   1\                        
 | |- - + -|  + 1                   
 | \  2   2/               /  1   x\
 |                     atan|- - + -|
/                          \  2   2/
-------------------- = -------------
         4                   2
La solución:
        /  1   x\                    
    atan|- - + -|      /     2      \
        \  2   2/   log\5 + x  - 2*x/
C + ------------- + -----------------
          2                 2
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                          /  1   x\                    
 |                       atan|- - + -|      /     2      \
 |      x                    \  2   2/   log\5 + x  - 2*x/
 | ------------ dx = C + ------------- + -----------------
 |  2                          2                 2        
 | x  - 2*x + 5                                           
 |                                                        
/
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
atan(1/2)   log(4)   log(5)
--------- + ------ - ------
    2         2        2
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}$$ 
=
= 
atan(1/2)   log(4)   log(5)
--------- + ------ - ------
    2         2        2
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}$$ 
atan(1/2)/2 + log(4)/2 - log(5)/2
Respuesta numérica [src] 
0.120252028843298
0.120252028843298

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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