Integral de (x^3-x)(3x^2-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} - x$.

      Luego que $du = \left(3 x^{2} - 1\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{3} - x\right)^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x^{2} - 1\right) \left(x^{3} - x\right) = 3 x^{5} - 4 x^{3} + x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{5}\, dx = 3 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{3}\right)\, dx = - 4 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{6}}{2} - x^{4} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$