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Resolución de integrales/ log10/ x*log10(x)

Integral de x*log10(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     log(x)   
 |  x*------- dx
 |    log(10)   
 |              
/               
0
∫01xlog⁡(x)log⁡(10) dx\int\limits_{0}^{1} x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}\, dx 
Integral(x*(log(x)/log(10)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dulog⁡(10)\frac{du}{\log{\left(10 \right)}}:

    ∫ue2ulog⁡(10) du\int \frac{u e^{2 u}}{\log{\left(10 \right)}}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫ue2u du=∫ue2u dulog⁡(10)\int u e^{2 u}\, du = \frac{\int u e^{2 u}\, du}{\log{\left(10 \right)}}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: ue2u2−e2u4log⁡(10)\frac{\frac{u e^{2 u}}{2} - \frac{e^{2 u}}{4}}{\log{\left(10 \right)}}

    Si ahora sustituir uu más en:

    x2log⁡(x)2−x24log⁡(10)\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(10 \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    x2(2log⁡(x)−1)4log⁡(10)\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{4 \log{\left(10 \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(2log⁡(x)−1)4log⁡(10)+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{4 \log{\left(10 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(2log⁡(x)−1)4log⁡(10)+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{4 \log{\left(10 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                         2    2       
  /                     x    x *log(x)
 |                    - -- + ---------
 |    log(x)            4        2    
 | x*------- dx = C + ----------------
 |   log(10)              log(10)     
 |                                    
/
∫xlog⁡(x)log⁡(10) dx=C+x2log⁡(x)2−x24log⁡(10)\int x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}\, dx = C + \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(10 \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.2-0.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   -1    
---------
4*log(10)
−14log⁡(10)- \frac{1}{4 \log{\left(10 \right)}} 
=
= 
   -1    
---------
4*log(10)
−14log⁡(10)- \frac{1}{4 \log{\left(10 \right)}} 
-1/(4*log(10))
Respuesta numérica [src] 
-0.108573620475813
-0.108573620475813

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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