Integral de (1+x)/(1+2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 1}{2 x + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = 2 x + 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 1}{2 x + 1} = \frac{x}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x + 1$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

      1. que $u = 2 x + 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$