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Resolución de integrales/ ln(x)/ (3x-4)ln(x)

Integral de (3x-4)ln(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |  (3*x - 4)*log(x) dx
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/                      
0
∫01(3x−4)log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x - 4\right) \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral((3*x - 4)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(3ue2u−4ueu) du\int \left(3 u e^{2 u} - 4 u e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3ue2u du=3∫ue2u du\int 3 u e^{2 u}\, du = 3 \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 3ue2u2−3e2u4\frac{3 u e^{2 u}}{2} - \frac{3 e^{2 u}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4ueu) du=−4∫ueu du\int \left(- 4 u e^{u}\right)\, du = - 4 \int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −4ueu+4eu- 4 u e^{u} + 4 e^{u}

        El resultado es: 3ue2u2−4ueu−3e2u4+4eu\frac{3 u e^{2 u}}{2} - 4 u e^{u} - \frac{3 e^{2 u}}{4} + 4 e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3x2log⁡(x)2−3x24−4xlog⁡(x)+4x\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} - 4 x \log{\left(x \right)} + 4 x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x−4)log⁡(x)=3xlog⁡(x)−4log⁡(x)\left(3 x - 4\right) \log{\left(x \right)} = 3 x \log{\left(x \right)} - 4 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xlog⁡(x) dx=3∫xlog⁡(x) dx\int 3 x \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2log⁡(x)2−3x24\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4log⁡(x)) dx=−4∫log⁡(x) dx\int \left(- 4 \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: −4xlog⁡(x)+4x- 4 x \log{\left(x \right)} + 4 x

      El resultado es: 3x2log⁡(x)2−3x24−4xlog⁡(x)+4x\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} - 4 x \log{\left(x \right)} + 4 x

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=3x−4\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 3 x - 4.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3x dx=3∫x dx\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 3x22\frac{3 x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−4) dx=−4x\int \left(-4\right)\, dx = - 4 x

        El resultado es: 3x22−4x\frac{3 x^{2}}{2} - 4 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      3x22−4xx=3x2−4\frac{\frac{3 x^{2}}{2} - 4 x}{x} = \frac{3 x}{2} - 4

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2 dx=3∫x dx2\int \frac{3 x}{2}\, dx = \frac{3 \int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x24\frac{3 x^{2}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−4) dx=−4x\int \left(-4\right)\, dx = - 4 x

      El resultado es: 3x24−4x\frac{3 x^{2}}{4} - 4 x

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x−4)log⁡(x)=3xlog⁡(x)−4log⁡(x)\left(3 x - 4\right) \log{\left(x \right)} = 3 x \log{\left(x \right)} - 4 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xlog⁡(x) dx=3∫xlog⁡(x) dx\int 3 x \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2log⁡(x)2−3x24\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4log⁡(x)) dx=−4∫log⁡(x) dx\int \left(- 4 \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: −4xlog⁡(x)+4x- 4 x \log{\left(x \right)} + 4 x

      El resultado es: 3x2log⁡(x)2−3x24−4xlog⁡(x)+4x\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} - 4 x \log{\left(x \right)} + 4 x

  2. Ahora simplificar:

    x(6xlog⁡(x)−3x−16log⁡(x)+16)4\frac{x \left(6 x \log{\left(x \right)} - 3 x - 16 \log{\left(x \right)} + 16\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(6xlog⁡(x)−3x−16log⁡(x)+16)4+constant\frac{x \left(6 x \log{\left(x \right)} - 3 x - 16 \log{\left(x \right)} + 16\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(6xlog⁡(x)−3x−16log⁡(x)+16)4+constant\frac{x \left(6 x \log{\left(x \right)} - 3 x - 16 \log{\left(x \right)} + 16\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   2                   2       
 |                                 3*x                 3*x *log(x)
 | (3*x - 4)*log(x) dx = C + 4*x - ---- - 4*x*log(x) + -----------
 |                                  4                       2     
/
∫(3x−4)log⁡(x) dx=C+3x2log⁡(x)2−3x24−4xlog⁡(x)+4x\int \left(3 x - 4\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} - 4 x \log{\left(x \right)} + 4 x
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
13/4
134\frac{13}{4} 
=
= 
13/4
134\frac{13}{4} 
13/4
Respuesta numérica [src] 
3.25
3.25

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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