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Resolución de integrales/ 3sinx/ cos2x/ sinx/3/ 4cos2x+1/3sinx/3

Integral de 4cos2x+1/3sinx/3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  n                           
  /                           
 |                            
 |  /             /sin(x)\\   
 |  |             |------||   
 |  |             \  3   /|   
 |  |4*cos(2*x) + --------| dx
 |  \                3    /   
 |                            
/                             
0
∫0n(13sin⁡(x)3+4cos⁡(2x)) dx\int\limits_{0}^{n} \left(\frac{\frac{1}{3} \sin{\left(x \right)}}{3} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(4*cos(2*x) + (sin(x)/3)/3, (x, 0, n))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫13sin⁡(x)3 dx=∫sin⁡(x)3 dx3\int \frac{\frac{1}{3} \sin{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}\, dx}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(x)3 dx=∫sin⁡(x) dx3\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(x \right)}\, dx}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(x)3- \frac{\cos{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(x)9- \frac{\cos{\left(x \right)}}{9}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4cos⁡(2x) dx=4∫cos⁡(2x) dx\int 4 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(2x)2 \sin{\left(2 x \right)}

    El resultado es: 2sin⁡(2x)−cos⁡(x)92 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{9}

  2. Ahora simplificar:

    (36sin⁡(x)−1)cos⁡(x)9\frac{\left(36 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{9}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (36sin⁡(x)−1)cos⁡(x)9+constant\frac{\left(36 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(36sin⁡(x)−1)cos⁡(x)9+constant\frac{\left(36 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                                                     
 | /             /sin(x)\\                             
 | |             |------||                             
 | |             \  3   /|                       cos(x)
 | |4*cos(2*x) + --------| dx = C + 2*sin(2*x) - ------
 | \                3    /                         9   
 |                                                     
/
∫(13sin⁡(x)3+4cos⁡(2x)) dx=C+2sin⁡(2x)−cos⁡(x)9\int \left(\frac{\frac{1}{3} \sin{\left(x \right)}}{3} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C + 2 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{9}
Simplificar
Respuesta [src] 
1                cos(n)
- + 2*sin(2*n) - ------
9                  9
2sin⁡(2n)−cos⁡(n)9+192 \sin{\left(2 n \right)} - \frac{\cos{\left(n \right)}}{9} + \frac{1}{9} 
=
= 
1                cos(n)
- + 2*sin(2*n) - ------
9                  9
2sin⁡(2n)−cos⁡(n)9+192 \sin{\left(2 n \right)} - \frac{\cos{\left(n \right)}}{9} + \frac{1}{9} 
1/9 + 2*sin(2*n) - cos(n)/9

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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