Integral de (-(2*x-1)^2+(-1)*x^2*(x-1)^2) dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $- x^{2} \left(x - 1\right)^{2} = - x^{4} + 2 x^{3} - x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{4}\right)\, dx = - \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(2 x - 1\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(2 x - 1\right)^{2}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 x - 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{6}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(2 x - 1\right)^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 4 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            El resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} - 2 x^{2} + x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{6}$

   El resultado es: $- \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$