Integral de e^x/((3*e^x))+2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{3}$

      Método #2

      1. que $u = 3 e^{x}$.

         Luego que $du = 3 e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(3 e^{x} \right)}}{3}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   El resultado es: $2 x + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$