Integral de (4sin²t+5cos²t+2sin²t) dt

Solución

Ha introducido [src]

 2*pi                                      
   /                                       
  |                                        
  |  /     2           2           2   \   
  |  \4*sin (t) + 5*cos (t) + 2*sin (t)/ dt
  |                                        
 /                                         
 0

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(\left(4 \sin^{2}{\left(t \right)} + 5 \cos^{2}{\left(t \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt$$

Integral(4*sin(t)^2 + 5*cos(t)^2 + 2*sin(t)^2, (t, 0, 2*pi))

Solución detallada

Integramos término a término:
1. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 4 \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt = 4 \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
        
        $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$
        
        que $u = 2 t$ .
        
        Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
        
        La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        La integral del coseno es seno:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
      El resultado es: $\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $2 t - \sin{\left(2 t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 5 \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = 5 \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$
        
        que $u = 2 t$ .
        
        Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
        
        La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        La integral del coseno es seno:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
        
        $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 t}{2} + \frac{5 \sin{\left(2 t \right)}}{4}$
  El resultado es: $\frac{9 t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 2 \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt = 2 \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$
      1. que $u = 2 t$ .
        
        Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
        
        La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        La integral del coseno es seno:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
    El resultado es: $\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
  Por lo tanto, el resultado es: $t - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
El resultado es: $\frac{11 t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{11 t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{11 t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                            
 |                                                             
 | /     2           2           2   \          sin(2*t)   11*t
 | \4*sin (t) + 5*cos (t) + 2*sin (t)/ dt = C - -------- + ----
 |                                                 4        2  
/

$$\int \left(\left(4 \sin^{2}{\left(t \right)} + 5 \cos^{2}{\left(t \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = C + \frac{11 t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

11*pi

$$11 \pi$$

11*pi

$$11 \pi$$

11*pi

Respuesta numérica [src]

34.5575191894877

34.5575191894877

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (4sin²t+5cos²t+2sin²t) dt

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución