Integral de 3/x^3-(x+2)^4-10√x^3 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 10 \left(\sqrt{x}\right)^{3}\right)\, dx = - 10 \int \left(\sqrt{x}\right)^{3}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 u^{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{\frac{5}{2}}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \left(x + 2\right)^{4}\right)\, dx = - \int \left(x + 2\right)^{4}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\left(x + 2\right)^{5}}{5}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(x + 2\right)^{4} = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 24 x^{2}\, dx = 24 \int x^{2}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $8 x^{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 32 x\, dx = 32 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $16 x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 16\, dx = 16 x$

               El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} + 2 x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(x + 2\right)^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x^{3}}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $- \frac{\left(x + 2\right)^{5}}{5} - \frac{3}{2 x^{2}}$

   El resultado es: $- 4 x^{\frac{5}{2}} - \frac{\left(x + 2\right)^{5}}{5} - \frac{3}{2 x^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $- 4 x^{\frac{5}{2}} - \frac{\left(x + 2\right)^{5}}{5} - \frac{3}{2 x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 4 x^{\frac{5}{2}} - \frac{\left(x + 2\right)^{5}}{5} - \frac{3}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 4 x^{\frac{5}{2}} - \frac{\left(x + 2\right)^{5}}{5} - \frac{3}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$