Integral de 1/(2x+2x^3) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{1}{2 x^{3} + 2 x} = - \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{1}{2 x}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = x^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}}{2}$

   El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$