Integral de (x^3-3)^7*x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} - 3$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{7}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{7}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{3} - 3\right)^{8}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(x^{3} - 3\right)^{7} = x^{23} - 21 x^{20} + 189 x^{17} - 945 x^{14} + 2835 x^{11} - 5103 x^{8} + 5103 x^{5} - 2187 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 21 x^{20}\right)\, dx = - 21 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 189 x^{17}\, dx = 189 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21 x^{18}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 945 x^{14}\right)\, dx = - 945 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 63 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2835 x^{11}\, dx = 2835 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{945 x^{12}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5103 x^{8}\right)\, dx = - 5103 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 567 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5103 x^{5}\, dx = 5103 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1701 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2187 x^{2}\right)\, dx = - 2187 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 729 x^{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{24}}{24} - x^{21} + \frac{21 x^{18}}{2} - 63 x^{15} + \frac{945 x^{12}}{4} - 567 x^{9} + \frac{1701 x^{6}}{2} - 729 x^{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{3} - 3\right)^{8}}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{3} - 3\right)^{8}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{3} - 3\right)^{8}}{24}+ \mathrm{constant}$