Integral de (e^-(t)+t-1)/t^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - t$.

      Luego que $du = - dt$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u - e^{u} + 1}{u^{2}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u - e^{u} + 1}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{e^{u}}{u^{2}} + \frac{1}{u^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{e^{u}}{u^{2}}\, du$

            UpperGammaRule(a=1, e=-2, context=exp(_u)/_u**2, symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{E}_{2}\left(- u\right)}{u}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         El resultado es: $\log{\left(u \right)} + \frac{\operatorname{E}_{2}\left(- u\right)}{u} - \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(- t \right)} - \frac{\operatorname{E}_{2}\left(t\right)}{t} + \frac{1}{t}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(t + e^{- t}\right) - 1}{t^{2}} = \frac{\left(t e^{t} - e^{t} + 1\right) e^{- t}}{t^{2}}$

   2. que $u = - t$.

      Luego que $du = - dt$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u - e^{u} + 1}{u^{2}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u - e^{u} + 1}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{e^{u}}{u^{2}} + \frac{1}{u^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{e^{u}}{u^{2}}\, du$

            UpperGammaRule(a=1, e=-2, context=exp(_u)/_u**2, symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{E}_{2}\left(- u\right)}{u}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         El resultado es: $\log{\left(u \right)} + \frac{\operatorname{E}_{2}\left(- u\right)}{u} - \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(- t \right)} - \frac{\operatorname{E}_{2}\left(t\right)}{t} + \frac{1}{t}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(t + e^{- t}\right) - 1}{t^{2}} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2}} + \frac{e^{- t}}{t^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $\frac{1}{t}$ es $\log{\left(t \right)}$.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{t^{2}}\right)\, dt = - \int \frac{1}{t^{2}}\, dt$

         1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{t^{2}}\, dt = - \frac{1}{t}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{t}$

      UpperGammaRule(a=-1, e=-2, context=exp(-t)/t**2, symbol=t)

      El resultado es: $\log{\left(t \right)} - \frac{\operatorname{E}_{2}\left(t\right)}{t} + \frac{1}{t}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{t \log{\left(- t \right)} - \operatorname{E}_{2}\left(t\right) + 1}{t}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t \log{\left(- t \right)} - \operatorname{E}_{2}\left(t\right) + 1}{t}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t \log{\left(- t \right)} - \operatorname{E}_{2}\left(t\right) + 1}{t}+ \mathrm{constant}$