Integral de x²cos(x²) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1              
  /              
 |               
 |   2    / 2\   
 |  x *cos\x / dx
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx$$

Integral(x^2*cos(x^2), (x, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{2} \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \sqrt{2} \sqrt{\pi} x C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)\, dx = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \int x C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)\, dx$
1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
  
  Pero la integral
  
  $\frac{\sqrt{2} x^{3} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right) \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{3}\left(\begin{matrix} \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{4}}{4}} \right)}}{16 \sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{5}{4}\right) \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}$
Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right) \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{3}\left(\begin{matrix} \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{4}}{4}} \right)}}{8 \Gamma\left(\frac{5}{4}\right) \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}$
Ahora simplificar:

$x^{2} \left(- \frac{2 x {{}_{2}F_{3}\left(\begin{matrix} \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{4}}{4}} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)$
Añadimos la constante de integración:

$x^{2} \left(- \frac{2 x {{}_{2}F_{3}\left(\begin{matrix} \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{4}}{4}} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} \left(- \frac{2 x {{}_{2}F_{3}\left(\begin{matrix} \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{4}}{4}} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                        /    ___\                                                       
                         ___   ____  2  |x*\/ 2 |                              _  /              |   4 \
  /                    \/ 2 *\/ pi *x *C|-------|    3                        |_  |   1/4, 3/4   | -x  |
 |                                      |   ____|   x *Gamma(1/4)*Gamma(3/4)* |   |              | ----|
 |  2    / 2\                           \ \/ pi /                            2  3 \1/2, 5/4, 7/4 |  4  /
 | x *cos\x / dx = C + -------------------------- - ----------------------------------------------------
 |                                 2                              8*Gamma(5/4)*Gamma(7/4)               
/

$$\int x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx = C - \frac{x^{3} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right) \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{3}\left(\begin{matrix} \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{4}}{4}} \right)}}{8 \Gamma\left(\frac{5}{4}\right) \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} x^{2} C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                                      /  ___ \           
                          ___   ____  |\/ 2  |           
                      3*\/ 2 *\/ pi *S|------|*Gamma(3/4)
                                      |  ____|           
3*Gamma(3/4)*sin(1)                   \\/ pi /           
------------------- - -----------------------------------
    8*Gamma(7/4)                 16*Gamma(7/4)

$$- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\right) \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{16 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)} + \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{8 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}$$

                                      /  ___ \           
                          ___   ____  |\/ 2  |           
                      3*\/ 2 *\/ pi *S|------|*Gamma(3/4)
                                      |  ____|           
3*Gamma(3/4)*sin(1)                   \\/ pi /           
------------------- - -----------------------------------
    8*Gamma(7/4)                 16*Gamma(7/4)

3*gamma(3/4)*sin(1)/(8*gamma(7/4)) - 3*sqrt(2)*sqrt(pi)*fresnels(sqrt(2)/sqrt(pi))*gamma(3/4)/(16*gamma(7/4))

Respuesta numérica [src]

0.265601341542258

0.265601341542258

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de x²cos(x²) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución