Integral de 2^x*(1+(2^(-x))/x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2^{- u} \left(2^{u} + u^{2}\right)}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2^{- u} \left(2^{u} + u^{2}\right)}{u^{2}}\, du = - \int \frac{2^{- u} \left(2^{u} + u^{2}\right)}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{2^{u} u^{2} + 1}{u^{2}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2^{u} u^{2} + 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{2^{u} u^{2} + 1}{u^{2}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{2^{u} u^{2} + 1}{u^{2}} = 2^{u} + \frac{1}{u^{2}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                     $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  El resultado es: $\frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{u} - \frac{2^{- u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u} + \frac{2^{- u}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2^{x} \left(1 + \frac{2^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{2^{x} x^{2} + 1}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2^{x} x^{2} + 1}{x^{2}} = 2^{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

         $\int 2^{x}\, dx = \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2^{x} \left(1 + \frac{2^{- x}}{x^{2}}\right) = 2^{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

         $\int 2^{x}\, dx = \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$