Integral de 1/(x-a)*(x+a) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{a + x}{- a + x} = \frac{2 a}{- a + x} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 a}{- a + x}\, dx = 2 a \int \frac{1}{- a + x}\, dx$

         1. que $u = - a + x$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(- a + x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 a \log{\left(- a + x \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $2 a \log{\left(- a + x \right)} + x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{a + x}{- a + x} = \frac{a}{- a + x} + \frac{x}{- a + x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{a}{- a + x}\, dx = a \int \frac{1}{- a + x}\, dx$

         1. que $u = - a + x$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(- a + x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $a \log{\left(- a + x \right)}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{- a + x} = \frac{a}{- a + x} + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{a}{- a + x}\, dx = a \int \frac{1}{- a + x}\, dx$

            1. que $u = - a + x$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(- a + x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $a \log{\left(- a + x \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $a \log{\left(- a + x \right)} + x$

      El resultado es: $2 a \log{\left(- a + x \right)} + x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 a \log{\left(- a + x \right)} + x+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 a \log{\left(- a + x \right)} + x+ \mathrm{constant}$