Integral de x(x²+1)½ dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{2}\, dx = \frac{\int x \left(x^{2} + 1\right)\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(\frac{u}{2} + \frac{1}{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x \left(x^{2} + 1\right) = x^{3} + x$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} + 2\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} + 2\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(x^{2} + 2\right)}{8}+ \mathrm{constant}$