Integral de (2x+5)^11 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x + 5$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{11}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{11}\, du = \frac{\int u^{11}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{11}\, du = \frac{u^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{12}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x + 5\right)^{12}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 5\right)^{11} = 2048 x^{11} + 56320 x^{10} + 704000 x^{9} + 5280000 x^{8} + 26400000 x^{7} + 92400000 x^{6} + 231000000 x^{5} + 412500000 x^{4} + 515625000 x^{3} + 429687500 x^{2} + 214843750 x + 48828125$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2048 x^{11}\, dx = 2048 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{512 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 56320 x^{10}\, dx = 56320 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5120 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 704000 x^{9}\, dx = 704000 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $70400 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5280000 x^{8}\, dx = 5280000 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1760000 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 26400000 x^{7}\, dx = 26400000 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3300000 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 92400000 x^{6}\, dx = 92400000 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $13200000 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 231000000 x^{5}\, dx = 231000000 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $38500000 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 412500000 x^{4}\, dx = 412500000 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $82500000 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 515625000 x^{3}\, dx = 515625000 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $128906250 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 429687500 x^{2}\, dx = 429687500 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{429687500 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 214843750 x\, dx = 214843750 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $107421875 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 48828125\, dx = 48828125 x$

      El resultado es: $\frac{512 x^{12}}{3} + 5120 x^{11} + 70400 x^{10} + \frac{1760000 x^{9}}{3} + 3300000 x^{8} + 13200000 x^{7} + 38500000 x^{6} + 82500000 x^{5} + 128906250 x^{4} + \frac{429687500 x^{3}}{3} + 107421875 x^{2} + 48828125 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x + 5\right)^{12}}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x + 5\right)^{12}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x + 5\right)^{12}}{24}+ \mathrm{constant}$