Integral de (1-1/x)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}} = 1 - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(u \right)}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            El resultado es: $u - 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u + 2 \log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x - 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2} = 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $x - 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2} = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2}} = 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $x - 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$