Integral de x^3-2lg8x-x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \log{\left(8 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \log{\left(8 x \right)}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 8 x$.

               Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

               $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{8}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{8}$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{8} - \frac{u}{8}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $x \log{\left(8 x \right)} - x$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \log{\left(8 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x \log{\left(8 x \right)} + 2 x$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - 2 x \log{\left(8 x \right)} + 2 x$

   El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x \log{\left(8 x \right)} + 2 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(x^{3} - 2 x - 8 \log{\left(8 x \right)} + 8\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(x^{3} - 2 x - 8 \log{\left(8 x \right)} + 8\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x^{3} - 2 x - 8 \log{\left(8 x \right)} + 8\right)}{4}+ \mathrm{constant}$