Integral de (1/2x+1)⁴ dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{2} + 1$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u^{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(\frac{x}{2} + 1\right)^{5}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{4} = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{4}}{16}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{16}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{80}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{2}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x^{2}}{2}\, dx = \frac{3 \int x^{2}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{x^{5}}{80} + \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{3}}{2} + x^{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 2\right)^{5}}{80}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 2\right)^{5}}{80}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 2\right)^{5}}{80}+ \mathrm{constant}$