Integral de 3^x*(2+4⋅(3^−x))dx. dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3^{x}$.

      Luego que $du = 3^{x} \log{\left(3 \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{\log{\left(3 \right)}}$:

      $\int \frac{2 u + 4}{u \log{\left(3 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u + 4}{u}\, du = \frac{\int \frac{2 u + 4}{u}\, du}{\log{\left(3 \right)}}$

         1. que $u = 2 u$.

            Luego que $du = 2 du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u + 4}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 4}{u} = 1 + \frac{4}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{u}\, du = 4 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 4 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 u + 4 \log{\left(2 u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u + 4 \log{\left(2 u \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \cdot 3^{x} + 4 \log{\left(2 \cdot 3^{x} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3^{x} \left(2 + 4 \cdot 3^{- x}\right) = 2 \cdot 3^{x} + 4$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \cdot 3^{x}\, dx = 2 \int 3^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 3^{x}\, dx = \frac{3^{x}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cdot 3^{x}}{\log{\left(3 \right)}}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      El resultado es: $\frac{2 \cdot 3^{x}}{\log{\left(3 \right)}} + 4 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(3^{x} + 2 \log{\left(2 \cdot 3^{x} \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(3^{x} + 2 \log{\left(2 \cdot 3^{x} \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(3^{x} + 2 \log{\left(2 \cdot 3^{x} \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$