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Resolución de integrales/ tgh^3(x)

Integral de tgh^3(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |      3      
 |  tanh (x) dx
 |             
/              
0
∫01tanh⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{1} \tanh^{3}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(tanh(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=tanh⁡(x)u = \tanh{\left(x \right)}.

    Luego que du=(1−tanh⁡2(x))dxdu = \left(1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}\right) dx y ponemos −du- du:

    ∫(−u3u2−1) du\int \left(- \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\right)\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u3u2−1 du=−∫u3u2−1 du\int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=u2u = u^{2}.

          Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos dudu:

          ∫u2u−2 du\int \frac{u}{2 u - 2}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u−2=12+12(u−1)\frac{u}{2 u - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

              1. que u=u−1u = u - 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

            El resultado es: u2+log⁡(u−1)2\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          u22+log⁡(u2−1)2\frac{u^{2}}{2} + \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u3u2−1=u+12(u+1)+12(u−1)\frac{u^{3}}{u^{2} - 1} = u + \frac{1}{2 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(u+1) du=∫1u+1 du2\int \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}

            1. que u=u+1u = u + 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u+1)2\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

          El resultado es: u22+log⁡(u−1)2+log⁡(u+1)2\frac{u^{2}}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −u22−log⁡(u2−1)2- \frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −log⁡(tanh⁡2(x)−1)2−tanh⁡2(x)2- \frac{\log{\left(\tanh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    −log⁡(−1cosh⁡2(x))2−tanh⁡2(x)2- \frac{\log{\left(- \frac{1}{\cosh^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(−1cosh⁡2(x))2−tanh⁡2(x)2+constant- \frac{\log{\left(- \frac{1}{\cosh^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(−1cosh⁡2(x))2−tanh⁡2(x)2+constant- \frac{\log{\left(- \frac{1}{\cosh^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                       2         /         2   \
 |     3             tanh (x)   log\-1 + tanh (x)/
 | tanh (x) dx = C - -------- - ------------------
 |                      2               2         
/
∫tanh⁡3(x) dx=C−log⁡(tanh⁡2(x)−1)2−tanh⁡2(x)2\int \tanh^{3}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\tanh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                           2   
                       tanh (1)
1 - log(1 + tanh(1)) - --------
                          2
−log⁡(tanh⁡(1)+1)−tanh⁡2(1)2+1- \log{\left(\tanh{\left(1 \right)} + 1 \right)} - \frac{\tanh^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 1 
=
= 
                           2   
                       tanh (1)
1 - log(1 + tanh(1)) - --------
                          2
−log⁡(tanh⁡(1)+1)−tanh⁡2(1)2+1- \log{\left(\tanh{\left(1 \right)} + 1 \right)} - \frac{\tanh^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 1 
1 - log(1 + tanh(1)) - tanh(1)^2/2
Respuesta numérica [src] 
0.14376800129004
0.14376800129004

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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