Integral de x^5/(x^2+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2}}{2 u + 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{2}}{2 u + 2} = \frac{u}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{u}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{2}}{4} - \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5}}{x^{2} + 1} = x^{3} - x + \frac{x}{x^{2} + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = x^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$