Integral de (1-e^(y-x)+cosy) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- e^{- x + y}\right)\, dx = - \int e^{- x + y}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = - x + y$.

               Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{- x + y}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $e^{- x + y} = e^{- x} e^{y}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int e^{- x} e^{y}\, dx = e^{y} \int e^{- x}\, dx$

               1. que $u = - x$.

                  Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- e^{- x}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{- x} e^{y}$

            Método #3

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $e^{- x + y} = e^{- x} e^{y}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int e^{- x} e^{y}\, dx = e^{y} \int e^{- x}\, dx$

               1. que $u = - x$.

                  Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- e^{- x}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{- x} e^{y}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{- x + y}$

      El resultado es: $x + e^{- x + y}$

   1. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(y \right)}\, dx = \sin{\left(y \right)}$

   El resultado es: $x + e^{- x + y} + \sin{\left(y \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + e^{- x + y} + \sin{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + e^{- x + y} + \sin{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$