Integral de (x^3+8)/(x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 8}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 8}{x + 2} = \frac{x^{3}}{x + 2} + \frac{8}{x + 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, dx = 4 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x + 2}\, dx = 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(x + 2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x + 8 \log{\left(x + 2 \right)} - 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(x^{2} - 3 x + 12\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(x^{2} - 3 x + 12\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x^{2} - 3 x + 12\right)}{3}+ \mathrm{constant}$