Integral de 2x(x^2-9)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2} - 9$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{2} - 9\right)^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2 x \left(x^{2} - 9\right)^{3} = 2 x^{7} - 54 x^{5} + 486 x^{3} - 1458 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{7}\, dx = 2 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{8}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 54 x^{5}\right)\, dx = - 54 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 9 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 486 x^{3}\, dx = 486 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{243 x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1458 x\right)\, dx = - 1458 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 729 x^{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{8}}{4} - 9 x^{6} + \frac{243 x^{4}}{2} - 729 x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 9\right)^{4}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 9\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 9\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$