Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ arctan/ sin^7x/ 7x^6-2sin^7x+3arctanx

Integral de 7x^6-2sin^7x+3arctanx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1/3                                 
   /                                  
  |                                   
  |  /   6        7               \   
  |  \7*x  - 2*sin (x) + 3*atan(x)/ dx
  |                                   
 /                                    
-1/3
∫−1313((7x6−2sin⁡7(x))+3atan⁡(x)) dx\int\limits_{- \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \left(\left(7 x^{6} - 2 \sin^{7}{\left(x \right)}\right) + 3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(7*x^6 - 2*sin(x)^7 + 3*atan(x), (x, -1/3, 1/3))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7x6 dx=7∫x6 dx\int 7 x^{6}\, dx = 7 \int x^{6}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x6 dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: x7x^{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡7(x)) dx=−2∫sin⁡7(x) dx\int \left(- 2 \sin^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{7}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡7(x)=(1−cos⁡2(x))3sin⁡(x)\sin^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)}

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−cos⁡2(x))3sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡6(x)+3sin⁡(x)cos⁡4(x)−3sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡(x)cos⁡6(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡6(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

              Por lo tanto, el resultado es: cos⁡7(x)7\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫3sin⁡(x)cos⁡4(x) dx=3∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡5(x)5- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−3sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−3∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)\cos^{3}{\left(x \right)}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

            El resultado es: cos⁡7(x)7−3cos⁡5(x)5+cos⁡3(x)−cos⁡(x)\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−cos⁡2(x))3sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡6(x)+3sin⁡(x)cos⁡4(x)−3sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡(x)cos⁡6(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡6(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

              Por lo tanto, el resultado es: cos⁡7(x)7\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫3sin⁡(x)cos⁡4(x) dx=3∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡5(x)5- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−3sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−3∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)\cos^{3}{\left(x \right)}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

            El resultado es: cos⁡7(x)7−3cos⁡5(x)5+cos⁡3(x)−cos⁡(x)\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡7(x)7+6cos⁡5(x)5−2cos⁡3(x)+2cos⁡(x)- \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 2 \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: x7−2cos⁡7(x)7+6cos⁡5(x)5−2cos⁡3(x)+2cos⁡(x)x^{7} - \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 2 \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3atan⁡(x) dx=3∫atan⁡(x) dx\int 3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=atan⁡(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du⁡(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xx2+1 dx=∫2xx2+1 dx2\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

        1. que u=x2+1u = x^{2} + 1.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2+1)\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+1)2\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 3xatan⁡(x)−3log⁡(x2+1)23 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{3 \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

    El resultado es: x7+3xatan⁡(x)−3log⁡(x2+1)2−2cos⁡7(x)7+6cos⁡5(x)5−2cos⁡3(x)+2cos⁡(x)x^{7} + 3 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{3 \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 2 \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x7+3xatan⁡(x)−3log⁡(x2+1)2−2cos⁡7(x)7+6cos⁡5(x)5−2cos⁡3(x)+2cos⁡(x)+constantx^{7} + 3 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{3 \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 2 \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x7+3xatan⁡(x)−3log⁡(x2+1)2−2cos⁡7(x)7+6cos⁡5(x)5−2cos⁡3(x)+2cos⁡(x)+constantx^{7} + 3 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{3 \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 2 \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                       
 |                                                                          /     2\        7           5                 
 | /   6        7               \           7        3                 3*log\1 + x /   2*cos (x)   6*cos (x)              
 | \7*x  - 2*sin (x) + 3*atan(x)/ dx = C + x  - 2*cos (x) + 2*cos(x) - ------------- - --------- + --------- + 3*x*atan(x)
 |                                                                           2             7           5                  
/
∫((7x6−2sin⁡7(x))+3atan⁡(x)) dx=C+x7+3xatan⁡(x)−3log⁡(x2+1)2−2cos⁡7(x)7+6cos⁡5(x)5−2cos⁡3(x)+2cos⁡(x)\int \left(\left(7 x^{6} - 2 \sin^{7}{\left(x \right)}\right) + 3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + x^{7} + 3 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{3 \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 2 \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.302-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2/2187
22187\frac{2}{2187} 
=
= 
2/2187
22187\frac{2}{2187} 
2/2187
Respuesta numérica [src] 
0.000914494741655235
0.000914494741655235

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор