Integral de (x^2+5x+1)^2*(2x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{2} + 5 x\right) + 1$.

      Luego que $du = \left(2 x + 5\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(x^{2} + 5 x\right) + 1\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 5\right) \left(\left(x^{2} + 5 x\right) + 1\right)^{2} = 2 x^{5} + 25 x^{4} + 104 x^{3} + 155 x^{2} + 52 x + 5$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{5}\, dx = 2 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 25 x^{4}\, dx = 25 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 104 x^{3}\, dx = 104 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $26 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 155 x^{2}\, dx = 155 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{155 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 52 x\, dx = 52 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $26 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 5\, dx = 5 x$

      El resultado es: $\frac{x^{6}}{3} + 5 x^{5} + 26 x^{4} + \frac{155 x^{3}}{3} + 26 x^{2} + 5 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} + 5 x + 1\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 5 x + 1\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 5 x + 1\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$