Integral de (2x^3+3)^5x^5dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{32 u^{6}}{3} + 80 u^{5} + 240 u^{4} + 360 u^{3} + 270 u^{2} + 81 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{32 u^{6}}{3}\, du = \frac{32 \int u^{6}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 u^{7}}{21}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 80 u^{5}\, du = 80 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40 u^{6}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 240 u^{4}\, du = 240 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $48 u^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 360 u^{3}\, du = 360 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $90 u^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 270 u^{2}\, du = 270 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $90 u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 81 u\, du = 81 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{32 u^{7}}{21} + \frac{40 u^{6}}{3} + 48 u^{5} + 90 u^{4} + 90 u^{3} + \frac{81 u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{32 x^{21}}{21} + \frac{40 x^{18}}{3} + 48 x^{15} + 90 x^{12} + 90 x^{9} + \frac{81 x^{6}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{5} \left(2 x^{3} + 3\right)^{5} = 32 x^{20} + 240 x^{17} + 720 x^{14} + 1080 x^{11} + 810 x^{8} + 243 x^{5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 32 x^{20}\, dx = 32 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 x^{21}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 240 x^{17}\, dx = 240 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40 x^{18}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 720 x^{14}\, dx = 720 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $48 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1080 x^{11}\, dx = 1080 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $90 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 810 x^{8}\, dx = 810 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $90 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 243 x^{5}\, dx = 243 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{6}}{2}$

      El resultado es: $\frac{32 x^{21}}{21} + \frac{40 x^{18}}{3} + 48 x^{15} + 90 x^{12} + 90 x^{9} + \frac{81 x^{6}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{6} \left(64 x^{15} + 560 x^{12} + 2016 x^{9} + 3780 x^{6} + 3780 x^{3} + 1701\right)}{42}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{6} \left(64 x^{15} + 560 x^{12} + 2016 x^{9} + 3780 x^{6} + 3780 x^{3} + 1701\right)}{42}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{6} \left(64 x^{15} + 560 x^{12} + 2016 x^{9} + 3780 x^{6} + 3780 x^{3} + 1701\right)}{42}+ \mathrm{constant}$