Integral de x^5/(7*x^6+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 x^{6} + 1$.

      Luego que $du = 42 x^{5} dx$ y ponemos $\frac{du}{42}$:

      $\int \frac{1}{42 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{42}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{42}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(7 x^{6} + 1 \right)}}{42}$

   Método #2

   1. que $u = x^{6}$.

      Luego que $du = 6 x^{5} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{42 u + 6}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 42 u + 6$.

            Luego que $du = 42 du$ y ponemos $\frac{du}{42}$:

            $\int \frac{1}{42 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{42}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{42}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(42 u + 6 \right)}}{42}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{42 u + 6} = \frac{1}{6 \left(7 u + 1\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{6 \left(7 u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{7 u + 1}\, du}{6}$

            1. que $u = 7 u + 1$.

               Luego que $du = 7 du$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

               $\int \frac{1}{7 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{7}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(7 u + 1 \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(7 u + 1 \right)}}{42}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(42 x^{6} + 6 \right)}}{42}$

   Método #3

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2}}{14 u^{3} + 2}\, du$

      1. que $u = 14 u^{3} + 2$.

         Luego que $du = 42 u^{2} du$ y ponemos $\frac{du}{42}$:

         $\int \frac{1}{42 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{42}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{42}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(14 u^{3} + 2 \right)}}{42}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(14 x^{6} + 2 \right)}}{42}$

   Método #4

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{21 u^{2} + 3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{21 u^{2} + 3}\, du = \frac{\int \frac{42 u}{21 u^{2} + 3}\, du}{42}$

         1. que $u = 21 u^{2} + 3$.

            Luego que $du = 42 u du$ y ponemos $\frac{du}{42}$:

            $\int \frac{1}{42 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(21 u^{2} + 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(21 u^{2} + 3 \right)}}{42}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(21 x^{6} + 3 \right)}}{42}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(7 x^{6} + 1 \right)}}{42}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(7 x^{6} + 1 \right)}}{42}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(7 x^{6} + 1 \right)}}{42}+ \mathrm{constant}$